1.
e是一个重要的常数,但它的真正含义是什么?
π大家都知道代表了圆的周长与直径之比,π≈3.14159。倘若我问你,e代表了什么。你能回答吗?
百度/**都说说:
“e是自然对数的底数。”
但是你去搜”自然对数”,得到却是:
“自然对数是以e为底的对数函数,e是一个无理数,约等于2.718281828。”
那e究竟是什么? 为何数学家选择这样一个无理数作为底数,还号称这种对数很”自然”呢?
2.
简单说,e就是增长的极限。
下面我们来具体解释
那么这种生物的数量,每天都会翻一倍。今天是1个,明天2个,后天4个。我们可以写出一个数量增长的公式:
其中,x表示天数。这种生物在第x天的总个数就是2的x次方。上式可以被改成为:
其中,1表示原有数量,100%代表单位时间内的增长率。
4.
我们假定:倘若每过12个小时,新产生的那半个细胞就可以再次分裂了。
那么,一天24个小时可以分成两个阶段,每一个阶段都在前一个阶段的基础上增加50%。
即24小时后有2.25个细胞产生。
其中,1个是原有的,1个是新生的,另外0.25个是新生细胞分裂的。
如果我们修改假设:每过8小时就新产生细胞就具备分裂的能力,即1天分成3个阶段。
那么,24小时后我们可以得到大约2.37个细胞。
如果我们进一步设想,这种分裂是连续不断进行,新生细胞每分每秒都具备持续分裂能力,那么一天可以得到多少个细胞呢?
当n趋向无限大时,这个式子的极值等于2.718281828…。
因此,当增长率为100%保持不变时,我们在单位时间内最多只能得到2.71828个细胞。数学家把这个数就称为e,它的含义是单位时间内,持续的翻倍增长所能达到的极限值。
这个值是自然增长的极限,因此以e为底的对数,就叫做自然对数。